Gauss Jordan（1）
Gauss Jordan法求逆矩阵
Gauss Jordan消元法是高斯消元法另一个版本，与高斯消元不同的是，高斯消元将矩阵化成上三角矩阵，G-J消元把矩阵化成单位矩阵；与高斯消元相同的是都是用来求解线性方程组的解
Gauss Jordan法介绍
当要求矩阵A的逆时,在A的右边放一个单位矩阵I，[A | I]就是增广矩阵，对A加减消元时，同样的步骤也作用于I上，当将A变成单位矩阵后,I就变成了P（A的逆），即[I | P]
G-J消元法就是通过一系列的初等行变换将[A | I]变成[I | P]的形式
如图
选取主元的Gauss Jordan
数值计算的迭代过程往往都伴随着舍入误差的累积，所以最终的结果也会有误差，如果这个最终的误差在一个可控的范围内，则称该算法为数值稳定的算法，否则为数值不稳定的算法。什么时候会造成数值不稳定？比如算法某一步要除以一个很小的数，小到绝对值趋近于0，商趋于无穷大，此时舍入误差大到不可控。相对于除以一个很小的数，除以一个很大数是比较安全的，因为真实的商值本来就趋于0，舍入后取0，这个误差并不大。所以G-J消元法有一种“稳定”的形式，即选取主元的G-J消元法
选主元的方法
- 在每一个循环过程中，先找到绝对值最大的那个元素
- 然后通过行变换将那个元素移动到主对角线的位置上
- 然后将主元所在的行除以主元，将主元变成1，然后通过加减消元变换将主元所在的行列变成单位矩阵的形式
- 在下一个循环过程中不考虑上一个主元所在的行列，在其它范围寻找下一个主元
选主元的方法虽然使算法比较稳定，但同时也增加了计算量，一种折中的方法“选取列主元”
选取列主元的方式是在第i次循环迭代中，从第i列中选主元，同样第i列中第i行之前的元素不在候选的范围内
假如矩阵是n阶矩阵，那么在每一次循环中对矩阵中的每一个元素都要处理，所以时间复杂度是n3
参考：